توجه : تمامی مطالب این سایت از سایت های دیگر جمع آوری شده است. در صورت مشاهده مطالب مغایر قوانین جمهوری اسلامی ایران یا عدم رضایت مدیر سایت مطالب کپی شده توسط ایدی موجود در بخش تماس با ما بالای سایت یا ساماندهی به ما اطلاع داده تا مطلب و سایت شما کاملا از لیست و سایت حذف شود. به امید ظهور مهدی (ع).

    یک مجموعه سه عضوی چند مجموعه دارد

    1 بازدید

    یک مجموعه سه عضوی چند مجموعه دارد را از سایت پست روزانه دریافت کنید.

    تعداد زیرمجموعه های سه عضوی یک مجموعه

    تعداد زیرمجموعه های سه عضوی یک مجموعه

    یکی از مسائلی که همواره مورد بحث و بررسی قرار می گیرد تعداد زیرمجموعه های k عضوی از یک مجموعه مرجع n عضوی می باشد. فرمول کلی تعیین تعداد زیرمجموعه های k عضوی از یک مجموعه n عضوی برابر با ترکیب k از n و به صورت زیر می باشد:

    1

    بر اساس فرمول فوق می توان تعداد زیرمجموعه های k عضوی را (k هر عدد دلخواه) بدست آورد. به عنوان مثال برای k=3 این تعداد را بدست می آوریم.

    فرمول تعداد زیرمجموعه های سه عضوی یک مجموعه

    فرمول کلی فوق را مبنا قرار داده و به جای k عدد ۳ را قرار می دهیم، پس داریم:

    2

    پس فرمول تعداد زیرمجموعه های سه عضوی یک مجموعه n عضوی به صورت زیر می شود:3

    مثال های بدست آوردن تعداد زیرمجموعه های سه عضوی یک مجموعه:

    مثال ۱:

    قرار است که در مسابقات ریاضی کلاس یازدهم یک مدرسه، سه نفر اول مشخص شده و به عنوان نمایندگان مدرسه در مسابقات ریاضی استانی شرکت نمایند، این مدرسه ۲۰ دانش اموز کلاس یازدهم دارد. کلا چند حالت برای انتخاب سه نفر برتر و شرکت آنها در مسابقات ریاضی استانی وجود دارد؟

    پاسخ مثال ۱:

    بر اساس فرمول بدست آمده بایستی ترکیب ۳ از ۲۰ را محاسبه نماییم، چرا که هر ترکیب نشان دهنده انتخاب یک زیرمجموعه ۳ عضوی از کل ۲۰ دانش آموز پایه یازدهم می باشد. پس در فرمول تعداد زیرمجموعه های سه عضوی یک مجموعه  n را برابر با ۲۰ قرار داده و داریم:

    4

    پس در نهایت ۱۱۴۰ ترکیب مختلف برای تعیین سه نفر برنده برای شرکت در مسابقات ریاضی استانی وجود دارد.

    مثال ۲:

    تعداد زیر مجموعه های سه عضوی مجموعه {۱,۲,۳,۴,۵} چندتا است؟

    پاسخ مثال ۲:

    واضح است که تعداد زیر مجموعه های این مجموعه برابر با ترکیب ۳ از ۵ یا همان ۱۰ می شود. از فرمول فوق نیز می‌تواند همین عدد ۱۰ را برای پاسخ این سوال به دست آورید. 

    بدست آوردن تعداد زیرمجموعه های سه عضوی یک مجموعه با محدودیت

    ممکن است در بدست آوردن تعداد زیر مجموعه های سه عضوی یک مجموعه محدودیت خاصی در نظر گرفته شود. مثلاً گفته شود تعداد زیر مجموعه های سه عضوی را بدست بیاورید که حتماً یک عضو مشخص در آن باشد یا حتماً یک عضو مشخص در آن نباشد. در این حالت شما بایستی با توجه به محدودیت بیان شده به محاسبه و به دست آوردن تعداد زیر مجموعه های سه عضوی مورد نظر اقدام نمایید. در ادامه با هم به ذکر یک مثال از حالت با محدودیت می پردازیم.

    مثال ۳:

    مجموعه A شامل اعداد طبیعی از یک تا ۸ می باشد. تعداد زیر مجموعه های سه عضوی این مجموعه را به صورتی بدست آورید که این زیرمجموعه ها حتماً شامل عدد ۵ باشند.

    پاسخ مثال ۳:

    خب از صورت مثال مشخص شد که زیر مجموعه های ۳ عضوی مورد نظر حتما باعث شامل عدد ۵ باشند. پس عدد ۵ را به صورت عضو ثابت این زیر مجموعه ها در نظر گرفته و به بررسی دو عضو باقیمانده می پردازیم. وقتی که عدد ۵ به عنوان عضو فیکس و مشخص در نظر گرفته شد از کل مجموعه اولیه ما ۷ عدد باقی می ماند که برای تشکیل یک  زیر مجموعه به دو عضو دیگر غیر از عدد پنج نیاز داریم. پس تعداد  زیرمجموعه های مورد نظر در این مسئله برابر با ترکیب دو از ۷ شده که برابر با عدد ۲۱ می باشد.

    اگر در رابطه با این مقاله اشکال و ابهامی دارید می توان در قسمت کامنت ها بیان نمایید تا ارائه توضیحات اضافه ابهام شما برطرف شده و موضوع شفاف تر گردد. همچنین در صورتی که در رابطه با موضوع این مقاله تمرین و یا سوالی دارید که پاسخ آن را نمی دانید، می توانید در قسمت کامنت ها سوال خود را بیان نمایید تا بررسی و پاسخ داده شود. 

    به صورت مشابه با این مقاله می توان تعداد زیر مجموعه های دو عضوی و  تعداد زیر مجموعه های چهار عضوی یک مجموعه را نیز به دست آورد که در مقالات مستقل به کلیه این موارد پرداخته شده که با کلیک کردن بر روی  لینک های مشخص شده می توانید به مطالعه آنها بپردازید.

    منبع مطلب : smartinsight.ir

    مدیر محترم سایت smartinsight.ir لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    اثبات فرمول تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه

    اثبات فرمول تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه

    پیش از این در مقاله فرمول تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه به بحث و ارائه مثال در رابطه با تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه و فرمول آن پرداختیم. جمع بندی اینکه بدست آوردن تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه آسان است و کافیست ۲ را به توان تعداد اعضای مجموعه برسانیم، به عنوان مثال اگر یک مجموعه ۵ عضو داشته باشد، ۲ به توان ۵ برابر با ۳۲ می شود. در ادامه به اثبات فرمول تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه می پردازیم. دو اثبات برای این موضوع ارائه داده می شود که یکی از آنها ساده تر می باشد. فرض می کنیم که تعداد کل اعضای مجموعه برابر با n باشد. 

    اثبات اول برای فرمول تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه (راه حل ساده)

    این اثبات ساده است. کافیست وضعیت هریک از اعضای مجموعه در زیرمجموعه ها را مشخص نماییم. این گونه تصور کنیم که هریک از اعضای مجموعه n تایی یک لامپ می باشند که می توانند روشن یا خاموش باشند. در این حالت هر زیرمجموعه را می توان با یک رشته لامپ صفر و یک در نظر گرفت اگر لامپ مربوط به یک عضو خاموش باشد یعنی آن عضو در زیرمجموعه حضور ندارد و برعکس روشن بودن لامپ مربوط به یک عضو به معنای حضور آن در زیرمجموعه می باشد، مثلا مجموعه تهی مربوط به حالتی است که کلیه لامپ ها خاموش باشند، یا یک مجموعه دو عضوی حالتی است که فقط دو لامپ از n لامپ (n همان تعداد کل اعضای مجموعه است) روشن و بقیه خاموش باشند. حال باید ببینیم چند حالت برای تشکیل این رشته های n لامپی وجود دارد. از آنجاییکه هر لامپ دو وضعیت روشن و خاموش را دارد، تعداد کل رشته ها بر اساس ضرب و به صورت زیر بدست می آید که برابر با ۲ به توان n می شود:

    1

    به عنوان مثال تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه چهار عضوی برابر با ۲ به توان ۴ یا همان ۱۶ و تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه ۳ عضوی برابر با ۲ به توان ۳ یا همان هشت می‌شود.

    اثبات دوم برای فرمول تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه

    برای اثبات بدین صورت می توانیم عمل نماییم که تعداد زیرمجموعه های تهی، ۱ عضوی، ۲ عضوی، ۳ عضوی و ….. تا n عضوی یک مجموعه را بدست آورده و آنها را با هم جمع نماییم. می دانیم که تعداد اعضای k عضوی یک مجموعه از فرمول زیر بدست می آید:

    2

    حال در فرمول فوق به جای k هریک از اعداد از صفر تا n را قرار می دهیم. پس داریم:

    تعداد زیرمجموعه های تهی (صفر عضوی) برابر می شود با:

    3

    تعداد زیرمجموعه های ۱ عضوی برابر می شود با:

    4

    تعداد زیرمجموعه های ۲ عضوی برابر می شود با:

    5

    تعداد زیرمجموعه های ۳ عضوی برابر می شود با:

    6

    تعداد زیرمجموعه های ۴ عضوی برابر می شود با:

    ۱۲

    تعداد زیرمجموعه های n-1 عضوی برابر می شود با:

    7

    تعداد زیرمجموعه های n عضوی برابر می شود با:

    8

    پس در نهایت تعداد کل زیرمجموعه های یک مجموعه n عضوی برابر با جمع ترکیب های فوق می شود، پس تعداد کل زیرمجموعه ها به صورت زیر بدست می آید:

    9

    لازم به ذکر است که مجموعه تمام زیرمجموعه‌های یک مجموعه، مجموعه توانی آن مجموعه نامیده می شود.

    برای محاسبه جمع فوق از فرمول کلی بسط یک عبارت دو جمله ای استفاده می کنیم که به صورت زیر می باشد:

    10

    حال در صورتیکه در عبارت فوق به جای a و b عدد ۱ را قرار دهیم، عبارت فوق به صورت زیر در می آید:

    11

    پس ثابت می شود که جمع کل تعداد ترکیب های مختلف (تعداد زیرمجموعه ها) برابر با ۲ به توان n (که n تعداد اعضای زیرمجموعه است) می باشد. 

    منبع مطلب : smartinsight.ir

    مدیر محترم سایت smartinsight.ir لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    دانش ریاضی

    دانش ریاضی

    مجموعه

    مثال: مجموعه اعداد طبیعی

    مثال  مجموعه حروف الفبای فارسی

    مثال  مجموعه ی بازیکنان تیم ملی فوتبال بزرگسال ایران در سال85

    زیر مجموعه :

    دو مجموعه A و B را در نظر می گیریم. B را زیر مجموعه A گویند هر گاه هر عضو B عضو A باشد.

    مثال 

    مجموعه ی اعداد زوج زیر مجموعه ی اعداد طبیعی

    مجموعه ی حروف بی نقطه ی الفبای فارسی زیر مجموعه مجموعه حروف الفبای فارسی

    مجموعه ی دروازبانهای تیم ملی فوتبال بزرگسالان ایران در سال 85 زیر مجموعه مجموعه بازیکنان تیم ملی فوتبال بزرگسالان ایران در سال 85

    مجموعه { 1،2 } B= زیر مجموعه { 1،2،7 }A=

    مجموعه تهی

    تهی، به معنی خالی و مقابل کلمه پر می باشد و در ریاضی مجموعه ای را که عضو ندارد ، مجموعه تهی می نامیم .مجموعه تهی را با { } نشان می دهیم .

    چند نکته:


    1- مجموعه های مساوی :

     دو مجموعه A و B را مساوی گویند هر گاه تمام اعضای A عضو B و تمام اعضای B عضو A باشند .

    مثال: مجموعه { 1،2،3،4 }A با مجموعه {2، 3 ،80 ، 4}=B مساوی هستند .


    2- مجموعه های معادل :

    دو مجموعه در صورتی با هم معادل هستند که تعداد اعضای آن ها با هم برابر باشند .

    مثال : مجموعه ی { ب،د،ج } M =  با مجموعه ی { 1،2،3 } N = معادل هستند .

    3- مجموعه متناهی یا نامتناهی :

    اگر تعداد اعضای یک مجموعه محدود باشد ، به آن مجموعه متناهی گویند .

    اگر تعداد اعضای یک مجموعه نامحدود باشد ، به آن مجموعه نا متناهی گویند .

    مثال:مجموعه { 9،...،1،2،3 } A = یک مجموعه متناهی است و مجموعه{ ....،15 ،10 ،5 }B = یک مجموعه نامتناهی می باشد .


    4) تعداد زیر مجموعه های هر مجموعه :

     تعداد زیر مجموعه های هر مجموعه n عضوی از دستور 2n  بدست می آید .

    با توجه به جدول بالا می توان رابطه ی بین تعداد عضوهای یک مجموعه و تعداد زیر مجموعه ها را مشاهده کرد .

    مثال: تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه 10 عضوی 210 می باشد . به عبارت دیگر مجموعه 10 عضوی 1024 زیر مجموعه دارد .

    5) مجموعه ی محض :

    :مثال تعداد زیر مجموعه های محض یک مجموعه ی10 عضوی برابر است با:                              1023 = 1-1024 = 1-210


    6)تعداد زیر مجموعه های :

    الف: تعداد زیر مجموعه های یک عضوی از یک مجموعه ی  n عضوی ، n تا می باشد .


    ب: تعداد زیر مجموعه های دو عضوی از یک مجموعه ی n عضوی ،    می باشد .      (2 n )


    ج: تعداد زیر مجموعه های سه عضوی از یک مجموعه ی n عضوی ،، می باشد. (3 n )



    مثال مجموعه ی{ A= { a,b,c,d  را در نظر بگیرید.

    تعداد زیر مجموعه های یک عضوی از مجموعه ی A برابر است با 4

    تعداد زیر مجموعه های دو عضوی از مجموعه ی A برابر است با 6  

    تعداد زیر مجموعه های سه عضوی از مجموعه ی A برابر است با 4 



    تست :


     1_مجموعه ای 32 زیر مجموعه دارد این مجموعه چند عضو دارد ؟

    3_مجموعه ی { {4،4}،{4} } A=  چند زیر مجموعه ی محض دارد ؟




    4_مجموعه ی {1،2،3،4،5}A=  چند زیر مجموعه ی دو عضوی دارد ؟



    (پاسخ تست ها را در قسمت نظرات بنویسید)

    منبع مطلب : maths7.blogsky.com

    مدیر محترم سایت maths7.blogsky.com لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

    جواب کاربران در نظرات پایین سایت

    مهدی : نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    میخواهید جواب یا ادامه مطلب را ببینید ؟
    Mobina adabi 2 ماه قبل
    0

    1=دو به توان n میشود ۳۲ که n تعداد زیرمجموعه هاست که دو به توان ۵میشود ۳۲ پس تعداد عضوهایمان برابر با ۵میشود.

    Ali 8 ماه قبل
    0

    تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه ( k+1) عضوی ۸ عضو بیشتر از یک مجموعه k عضوی است مقدار k چقدر است

    مهدی 10 ماه قبل
    -2

    نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

    برای ارسال نظر کلیک کنید